Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E为AC中点，连接ED并延长交CB的延长线于F
（1）求证：△CDF∽△DBF；
（2）若AC=4，BC=3，求BD及；
（3）若（2）的条件不变，P为△ACD的重心，求P到AC的距离．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，
∵E是AC的中点，∴AE=ED，∴∠A=∠EDA=∠FDB，
∴∠FDB=∠FCD，
又∠F=∠F，
∴△CDF∽△DBF．

（2）AC=4，BC=3，∴AB=5，CD=．
△BCD∽△BAC，∴BC²=BD•BA，∴BD==．
由（1）得：===．

（3）如图：
过点D作DH⊥AC于H，过点P作PG⊥AC于G，
则：AC=4，CD=2.4，AD=3.2，
DH==1.92．
PG=DH=0.64．
所以P到AC的距离为0.64．
分析：（1）根据同角的余角相等得到∠A=∠BCD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及对顶角相等进行等量代换得到∠FCD=∠FDB，另外有一个公共角，可以证明两三角形相似．（2）根据相似三角形对应线段的比相等，可以求出BD的长和的值．（3）根据重心到对边中点的距离等于到顶点距离的一半，得到PG=DH，求出PG的长．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）证明两角对应相等判定两个三角形相似．（2）根据两三角形相似，对应线段成比例，求出线段的长以及线段的比．（3）根据相似三角形对应高的比等于相似比可以求出点P到AC的距离．