Question

18．阅读理解下面内容，并解决问题：
善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：
①${（\sqrt{9×4}）^2}=9×4$，${（\sqrt{9}×\sqrt{4}）^2}={（\sqrt{9}）^2}×{（\sqrt{4}）^2}=9×4$，$\sqrt{9×4}$和$\sqrt{9}×\sqrt{4}$都是9×4的算术平方根，
而9×4的算术平方根只有一个，所以$\sqrt{9×4}$=$\sqrt{9}×\sqrt{4}$．
②${（\sqrt{9×16}）^2}=9×16$，${（\sqrt{9}×\sqrt{16}）^2}={（\sqrt{9}）^2}×{（\sqrt{16}）^2}=9×16$，$\sqrt{9×16}$和$\sqrt{9}×\sqrt{16}$都是9×16的算术平方根，
而9×16的算术平方根只有一个，所以$\sqrt{9×16}$=$\sqrt{9}$×$\sqrt{16}$．
请解决以下问题：
（1）请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，$\sqrt{ab}$与$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$之间的大小关系是怎样的？
（2）再举一个例子，检验你猜想的结果是否正确．
（3）运用以上结论，计算：$\sqrt{81×144}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次根式乘法运算法则得出答案；
（2）利用特殊值进而验证得出答案；
（3）直接利用$\sqrt{ab}$=$\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$得出答案．

解答 解：（1）$\sqrt{9×16}$=$\sqrt{9}$×$\sqrt{16}$，
根据题意，当a≥0，b≥0时，$\sqrt{ab}$与$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$之间的大小关系为：
$\sqrt{ab}$=$\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$；
故答案为：$\sqrt{9×16}$=$\sqrt{9}$×$\sqrt{16}$；

（2）根据题意，举例如：$\sqrt{25×1}$=$\sqrt{25}$×$\sqrt{1}$，
验证：$\sqrt{25×1}$=5，$\sqrt{25}$×$\sqrt{1}$=5，所以$\sqrt{25×1}$=$\sqrt{25}$×$\sqrt{1}$．
又举例如：$\sqrt{25×16}$=$\sqrt{25}$×$\sqrt{16}$，
验证：$\sqrt{25×16}$=20，$\sqrt{25}$×$\sqrt{16}$=20，所以$\sqrt{25×16}$=$\sqrt{25}$×$\sqrt{16}$等，
符合（1）的猜想；

（3）$\sqrt{81×144}$=$\sqrt{81}$×$\sqrt{144}$
=9×12
=108．

点评 此题主要考查了实数运算以及二次根式的性质，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键．