Question

如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．

探究：设A、P两点间的距离为x．

(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；

(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PQ＝PB　1分 　　过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N 　　在正方形ABCD中，AC为对角线 　　∴AM＝PM 　　又∵AB＝MN 　　∴MB＝PN 　　∵∠BPQ＝90° 　　∴∠BPM＋∠NPQ＝90° 　　又∵∠MBP＋∠BPM＝90° 　　∴∠MBP＝∠NPQ 　　∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，　2分 　　∴PB＝PQ 　　(2)∵S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ 　　∵AP＝x 　　∴AM＝x 　　∴CQ＝CD－2NQ＝1－x 　　又∵S△PBC＝BC·BM＝·1·(1－x)＝－x 　　S△PCQ＝CQ·PN＝(1－x)·(1－x) 　　＝－＋ 　　∴S四边形PBCQ＝－x＋1．(0≤x≤)　4分 　　(3)△PCQ可能成为等腰三角形． 　　①当点P与点A重合时，点Q与点D重合， 　　PQ＝QC，此时，x＝0．　5分 　　②当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，　6分 　　有：QN＝AM＝PM＝，CP＝－x， 　　CN＝＝1－ 　　CQ＝QN－CN＝－(1－) 　　＝x－1 　　∴当－x＝－1时，x＝1　7分