Question

15．如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知OP平分∠yOx．点P（2，2），点A在x轴正半轴上，联结PA，过点P作PB⊥PA交轴正半轴于点B．
（1）如图1，当PA⊥x轴时，求点A的坐标；
（2）如图2，当PA不垂直于x轴时，联结AB，试判断△PAB的形状，并说明理由；
（3）如图2，当PA不垂直于x轴时，请直接写出四边形APBO的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，得到四边形APBO是正方形，求得∠CPD=90°，推出△PDB≌△PAC，根据全等三角形的性质得到PB=PA，根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵PA⊥x轴，点P（2，2），
∴OA=2，
∴A（2，0）；

（2）过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
∵OP平分∠yOx，
∴PD=PC，
∴四边形APBO是正方形，
∴∠CPD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APC=∠DPB，
在△PDB与△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠PCA=90°}\\{∠DPB=∠APC}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△PDB≌△PAC，
∴PB=PA，
∵∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形；

（3）∵点P（2，2），
∴PC=PD=2，
∵△PDB≌△PAC，
∴S_{四边形APBO}=S_{正方形CPDO}=2×2=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．