Question

如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P点坐标为______；
（2）若P、A两点在抛物线上，求b，c的值；
（3）若直线y=kx+m平行于CP，且于（2）中的抛物线有且只有一个交点，求k，m的值；
（4）在（2）中抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在求此时M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点P作PG⊥x轴交CB于G．
tan∠CAO==，
∴∠CAO=30°，
∴PCA=60°，
又∵∠ACB=30°，
∴∠PCB=30°，
在RT△PCM中，PG=PC=OC=，GC=，
∴点P的坐标为（，）．
综上可得：∠PCB=30°，P点坐标为（，）．

（2）把P与A分别代入，
解得：，c=1，
∴，

（3）由P，C（0，1）可得直线CP：，
∵直线y=kx+m平行于CP，
∴，
∵与只有一个交点，
∴有两个相同的实数根，
解得：；…

（4）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．

S_△CMP=s_△CME+S_△PME=ME•CG=ME
设M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=x₀
∴ME=MF-EF=-x₀²+x₀
∴S_△CMP=-x₀²+x
∵a=-＜0，
∴S有最大值．
当x₀=时，S的最大值是 ，
∵S_△MCAP=S_△CPM+S_△ACP
∴四边形MCAP的面积的最大值为
此时M点的坐标为（ ，）
所以存在这样的点M（ ，），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为 ．
分析：（1）在直角△OAC中，根据三角函数就可以求出∠CAO的度数，以及∠OCA的度数．而∠PCA=∠OCA，∠BCA=∠CAO，则∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根据三角函数可以求得CG，PG的长，从而得到P的坐标．
（2）P、A两点的坐标容易得到，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．求出b，c的值．C点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．
（3）根据点P及点C的坐标可得出直线PC的解析式，这样可得出k的值，再由此直线与有且只有一个交点，利用根的判别式可得出m的值．
（4）过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G，根据S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四边形MCAP的面积就可以表示成OF的函数，利用函数的性质，就可以求出最值．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、翻折变换及二次函数最值问题，是一道难度较大的综合题，注意掌握最值问题基本的解决思路是转化为函数问题．