Question

18．如图，正方形ABCD中，H在BC上，DE⊥AH交AB于点E，交AH于点G，若AB=3，BH=1．
（1）求DE的长；
（2）求GH的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定证得△DAE≌△ABH，再根据勾股定理即可求得结论；
（2）由相似三角形的判定证得△AGE∽△ABH，再由相似三角形的性质可求得结论．

解答 解：（1）∵DE⊥AH，
∴∠ADE=∠BAH=180°-∠DAG，
在△DAE和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAH}\\{DA=AB}\\{∠DAE=∠ABH=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABH，
∴AE=BH=1，
∴DE=$\sqrt{D{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）∵△DAE≌△ABH，
∴AH=DE=$\sqrt{10}$，
∵∠GAE=∠BAH，∠AGE=∠ABH=90°，
∴△AGE∽△ABH，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AE}{AH}$，
∴$\frac{\sqrt{10}-GH}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
解得：GH=$\frac{7\sqrt{10}}{10}$，

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理，综合性较强，但难度不大，证得△DAE≌△ABH是解题的关键．