【题目】在矩形ABCD中,AB=3厘米,AD=4厘米,点P以每秒厘米的速度在BC上从B往C运动,同时点Q以每秒1厘米的速度在CA上从C往A运动,设运动时间为t秒.
(1)当PQ平行于AB时,求t的值;
(2)是否存在某一时刻t,使点P、Q、D三点在同一直线上?若存在,求出t;若不存在,请说明理由;
(3)当△PQC为等腰三角形时,求t的值.
【答案】(1)t=;(2)当t=
时,点P、Q、D三点在同一直线上;(3)t=
或t=
或t=
时,△PQC为等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理求出AC的长,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可;
(2)根据相似三角形的性质得到=
,代入数据计算即可;
(3)分CQ=CP、QP=QC、PQ=PC三种情况,根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质进行计算即可.
解:(1)∵∠B=90°,AB=3厘米,AD=4厘米,
∴AC==5厘米,
由题意得,BP=t,CQ=t,则CP=4﹣
t,
∵PQ∥AB,
∴=
,即
=
,
解得t=;
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
如图2,当点P、Q、D三点在同一直线上时,=
,即
=
,
解得t1=(舍去),t2=
,
则当t=时,点P、Q、D三点在同一直线上;
(3)当CQ=CP时,4﹣t=t,
解得t=;
当QP=QC时,
如图3,作QE⊥BC于E,
则PE=EC=(4﹣
t),
∵QE∥AB,
∴=
,
即=
,
解得t=;
当PQ=PC时,
如图4,作PF⊥AC于F,
则FC=QC=
t,
∵PF⊥AC,∠B=90°,
∴△CFP∽△CBA,
∴=
,即
=
,
解得t=,
综上所述,t=或t=
或t=
时,△PQC为等腰三角形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4分别交x轴,y轴于A,B两点,点C为OB的中点,点D在第二象限,且四边形AOCD为矩形.
(1)直接写出点A,B的坐标,并求直线AB与CD交点E的坐标;
(2)动点P从点C出发,沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;同时,动点N从点A出发,沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接NP.设点P的运动时间为t秒.
①若△NPH的面积为1,求t的值;
②点Q是点B关于点A的对称点,问BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为( )
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
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【题目】已知:如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)如果AB=3,EC=,求DC的长.
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【题目】如图,某小区在规划改造期间,欲拆除小区广场边的一根电线杆AB,已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台,即BD=14米,该观景台的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2,观景台的高CF为2米,在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30°,D、E之间是宽2米的人行道,如果以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域.请你通过计算说明在拆除电线杆AB时,人行道是否在危险区域内?(≈1.73)
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