已知边长为4的正方形ABCD.顶点A与坐标原点重合.一反比例函数图象过顶点C.动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动.动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动.当点P与点Q相遇时停止运动.设点P的运动时间为t．(1)求出该反比例函数解析式,(2)连接PD.当以点Q和正方形的某两个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标；
（3）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=

将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=

；（2分）
（2）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=

，
则DQ=4t=

，即Q₁（

，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=

，
则QB=8-4t=

，此时Q₂（4，

）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8-4t=t，解得t=

，
则QB=

，即Q₃（4，

）；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=

，
因为0≤t≤

，所以舍去．
综上所述Q₁（

，4）； Q₂（4，

），Q₃（4，

）
（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=

×4t×4=8t；
当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4-t，CQ=4t-4，AP=t，
则s=S_{正方形ABCD}-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=16-

AP•AD-

PB•BQ-

DC•CQ=16-

t×4-

（4-t）•【4-（4t-4）】-

×4（4t-4）═-2t²+2t+8；
当2≤t≤

时，Q在AB上，PQ=12-5t，则s=

×4×（12-5t），即s=-10t+24．
总之，s₁=8t（0＜t≤1）；
s₂=-2t²+2t+8（1≤t≤2）；
s₃=-10t+24（2≤t≤

）

点评：本题考查了正方形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，分类思想，综合性较强，有一定的难度．

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