Question

7．在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，3）、B（3，0），C为线段OB上一动点，以AC为边向右作正方形ACDE，连接EB，EB与CD相交于点P．
（1）求直线AB的解析式；
（2）证明：BE⊥BC；
（3）求点P到达最高位置时的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先设直线AB的解析式为：y=kx+b，由直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，3），B（3，0），利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）首先过点E作EF⊥y轴于点F，易证得△AEF≌△CAO（AAS），则可证得四边形OBEF是矩形，则可得BE⊥BO；
（3）首先设点C（a，0），则可得OC=a，BC=OB-OC=3-a，易证得△OAC∽△BCP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PB=-$\frac{1}{3}$a²+a=-$\frac{1}{3}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，继而求得答案．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵直线AB与两坐标轴的交点分别是A（0，3），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3；

（2）过点E作EF⊥y轴于点F，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AC=AE，∠EAC=90°，
∴∠EAF+∠OAC=90°，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠EAF=∠ACO，
在△AEF和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠COA=90°}\\{∠EAF=∠ACO}\\{AE=CA}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CAO（AAS），
∴EF=OA=4，AF=OC，
∴EF=OB，
∵EF∥OB，
∴四边形OBEF是平行四边形，
∵∠FOB=90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∴BE⊥BO；

（3）∵∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCP=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCP=∠OAC，
∵∠AOC=∠CBP=90°，
∴△OAC∽△BCP，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{OC}{BP}$，
设点C（a，0），
则OC=a，BC=OB-OC=3-a，
∴$\frac{3}{3-a}$=$\frac{a}{PB}$，
∴PB=-$\frac{1}{3}$a²+a=-$\frac{1}{3}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，PB最大，最大值为$\frac{3}{4}$，
∴点P到达最高位置时的坐标为：（3，$\frac{3}{4}$）．

点评 此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．