Question

如图，以OA₁=2为底边做等腰三角形，使得第三个顶点C₁恰好在直线y=x+2上，并以此向左、右依此类推，作一系列底边为2，第三个顶点在直线y=x+2上的等腰三角形．
（1）底边为2，顶点在直线y=x+2上且面积为21的等腰三角形位于图中什么位置？
（2）求证：y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半（如：S_右1=，S_右2=）．
（3）过D₁、A₁、C₂三点画抛物线．问在抛物线上是否存在点P，使得△PD₁C₂的面积是△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设等腰三角形的顶点坐标为（x，x+2）．
∵等腰三角形的底边在x轴上，∴高为：|x+2|，
由题意，有×2×|x+2|=21，
即|x+2|=21，
解得：x=-23或x=19，
设面积为21的等腰三角形是第n个三角形，则2n-1=19，或-2n+1=-23，
解得n=10或n=12，
∴在y轴的右边从左到右第10个或y轴的左边从右到左第12个；

（2）∵y轴右侧第n个等腰三角形A_n-1A_nC_n的底边两端点坐标为：A_n-1（2n-2，0），A_n（2n，0），
∴面积为：×2（2n-1+2）=2n+1，
前后两个非等腰三角形的面积和为：×2（2n-2+2+2n+2）=4n+2．
∴y轴右侧的每一个等腰三角形的面积都等于前后两个以腰为一边的三角形面积之和的一半；

（3）∵以OA₁=2为底边做等腰三角形，∴A₁的坐标为：（2，0），
∵第三个顶点C₁恰好在直线y=x+2上，∴C₁的坐标为：（1，3），则C₂的坐标为：（3，5），
∵B₁的坐标为：（-2，0），∴D₁的坐标为：（-1，1）．
设过D₁，A₁，C₂三点的抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，
将D₁，A₁，C₂三点代入，
得：，解得：，
∴过D₁，A₁，C₂三点的抛物线解析式为：y=x²-x-2，
由（2）知，△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和等于△OA₁C₁面积的2倍，即为：2××2×3=6．
设在抛物线上存在点P（x，y），使得△PD₁C₂的面积是△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和的．
分两种情况：
①当点P在直线y=x+2下方时：
则有×4×[x+2-（x²-x-2）]=×6，
解得：x₁=0，x₂=2．
当x=0时，y=x²-x-2=-2．
当x=2时，y=x²-x-2=0．
∴P₁（0，-2），P₂（2，0）；
②当点P在直线y=x+2的上方时：
则有（x+1）[+y-5]=×6，
得：y-x-6=0，即x²-x-8=0，
x²-2x-6=0，
解得x=1±．
当x=1+时，y=x²-x-2=7+．
当x=1-时，y=x²-x-2=7-．
∴P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
故存在符合条件的点P，它们的坐标是P₁（0，-2），P₂（2，0），P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
分析：（1）设等腰三角形的顶点坐标为（x，x+2）．先根据三角形的面积为21，得出关于x的方程，再解方程求出x的值，进而可求解；
（2）分别求出y轴右侧第n个等腰三角形A_n-1A_nC_n的面积与其前后两个非等腰三角形的面积和，比较即可；
（3）先运用待定系数法求出过D₁、A₁、C₂三点的抛物线的解析式，由（2）的结论得出△C₁OD₁与△C₁A₁C₂的面积和，再设在抛物线上存在点P（x，y），使得△PD₁C₂的面积是△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和的，然后分两种情况进行讨论：①点P在直线y=x+2的下方，②点P在直线y=x+2的上方．针对这两种情况，都可以根据△PD₁C₂的面积是△C₁OD₁与△C₁A₁C₂面积和的，列出方程，解方程即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识有运用待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系中三角形的面积的求法以及学生由特殊到一般的归纳总结能力，难度较大，体现了数形结合的思想，其中第三问进行分类讨论是解题的关键，运用坐标表示三角形的面积是难点．