Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．
（1）点C的坐标为（8，8）；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8）即可；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面积公式得出S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）即可；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
②当S=6，m＞8时，得出$\frac{1}{2}$m²-4m=6，解方程求出m即可；
当S=6，0＜m＜8时，得出-$\frac{1}{2}$m²+4m=6，解方程求出m即可．

解答 解：（1）∵点A（0，8），
∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC=AO=8，∠OAC=90°，
∴C（8，8），
故答案为：（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三种情况：
a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB-OE=m-8，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•BE=$\frac{1}{2}$m（m-8），
即S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE-OB=8-m，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•BE=$\frac{1}{2}$m（8-m），
即S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；
综上所述，S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8），或S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时，$\frac{1}{2}$m²-4m=6，
解得：m=4±2$\sqrt{7}$（负值舍去），
∴m=4+2$\sqrt{7}$；
当S=6，0＜m＜8时，-$\frac{1}{2}$m²+4m=6，
解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2$\sqrt{7}$，0）或（2，0）或（6，0）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．