Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

Answer 1

（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论。
（2）
（3）

分析：（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论。
（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可。
（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论。
解：（1）证明：如图（1），∵EF∥AD，∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF。
∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE。∴∠GFE=∠BFE。
∴∠A=∠AMF。∴△AMF是等腰三角形。
（2）如图，作DQ⊥AB于点Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°。∴AB∥DC。∴∠CDQ=90°。
又∵∠B=90°，∴四边形CDQB是矩形。
∴CD=QB=2，QD=CB=6，∴AQ=10﹣2=8。
在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD=10。
∴tan∠A=。∴。
如图3，∵EB=x，∴FB=x，CE=6﹣x。∴AF=MF=10﹣x。
∴GM=。∴GD=。∴DE=。
在Rt△CED中，由勾股定理得，解得：。
∴当EG过点D时。
（3）当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，。
当点G在边AD上时，易求得x=，
∴当0＜x时，。
∴当x=时，y最大值为。
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，∴，即。
整理，得。
由（2）知，，∴当时，。
∵，
当x=5时，y最大值为。
∵＞，∴当x=5时，y最大值为。
综上所述，y关于x的函数为，y最大值为。