Question

3．如图，正方形ABCD的对角线上一动点P，作PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB=3，BP=$\sqrt{5}$，则BN的长为（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\sqrt{13}$或$\sqrt{10}$
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 延长NP交AB于H．易知AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，在Rt△PBH中，根据PB²=PH²+BH²，可得x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，推出x=1或2，接下来分两种情形分别求出BN即可．

解答 解：延长NP交AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=90°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45°，
∴AH=PH，设AH=PH=x，则BH=3-x，
在Rt△PBH中，∵PB²=PH²+BH²，
∴x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴x=1或2，
当x=1时，BH=CN=2，在Rt△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
当x=2时，BH=CN=1，在Rt△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=，$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
综上所述，BN的长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{10}$．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．