Question

方程（x³-3x²+x-2）（x³-x²-4x+7）+6x²-15x+18=0的全部相异实根是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先假设A=x³-2x²-x+，B=，将原方程转化为（A-B）（A+B）+6B-9=0，通过因式分解求得A、B关系，同时实现了降次．再将A、B代入根据因式分解后的分式分情况求解．
解答：解：设A=x³-2x²-x+，B=
则原方程转化为（A-B）（A+B）+6B-9=0，即
A²-B²+6B-9=0，A²-（B²-6B+9）=0，A²-（B-3）²=0，
（A+B-3）（A-B+3）=0，
A+B-3=0或A-B+3=0．
①若A+B-3=0，即x³-x²-4x+4=0，
（x²-4）（x-1）=0，
x²-4=0或x-1=0，
x=±2或1；
②若A-B+3=0，
即x³-3x²+x+1=0，（x-1）（x²-2x-1）=0，
∴x-1=0或x²-2x-1=0，
x=1或
∴原方程的根是1（2重根），±2，
故答案为1，±2，
点评：解答此类题目的关键是把原方程通过假设换元达到了因式分解的目的，同时也实现了降次．