Question

设有k个自然数a₁，a₂，…，a_k满足条件1≤a₁＜a₂＜…＜a_k≤50，并且任意两个数的和都不能被7整除，那么这些自然数的个数k最多为

23

．

Answer 1

分析：把所有自然数按被7除余数分类，对于任意两个数的和都不能被7整除，余数只能为（1，2，3）或（4，5，6）任意两个数的和符合要求，由此解决问题．

解答：解：a₁，a₂，…，a_k被7除余数分别为0，1，2，3，4，5，6，
余数只能为（1，2，3）或（4，5，6）任意两个数的和都不能被7整除，
因为1，2，3，…，，49这49个数被7除余数分别为0，1，2，3，4，5，6，正好循环7次，50除以7的余数是1，
由此可知余数为（1，2，3）的数有3×7+1=22个符合要求，
另外只放一个7的倍数也可以使任意两个数的和都不能被7整除，
因此这些自然数的个数k最多为 22+1=23个．
故答案为23．

点评：此题主要利用一个自然数被7除的余数进行分析讨论，寻找解决问题的突破口．