Question

已知，抛物线y＝ax²＋4ax＋t与x轴的一个交点为A(－1，0)

(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)依题意，抛物线对称轴为x＝－2 　　∵抛物线与x轴的一个交点为A(－1，0) 　　∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(－3，0) 　　(2)∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A(－1，0) 　　∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0 　　∴t＝3a 　　∴y＝ax2＋4ax＋3a 　　∴D(0，3a) 　　∵梯形ABCD中，AB∥CD 　　且点C在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a上，∴C(－4，3a) 　　∴AB＝2，CD＝4 　　∵梯形ABCD的面积为9 　　∴(AB＋CD)·CD＝9 　　∴(2＋4)|3a|＝9 　　∴a＝±1 　　∴所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或y＝－x2－4x－3 　　(3)设点E坐标为(xO，yO) 　　依题意，x0＜0，y0＞0，且＝ 　　∴y0＝－x0 　　设点E在抛物线y＝x2＋4x＋3上， 　　∴y0＝＋4x0＋3 　　解方程组 　　得　　 　　∵点E与A在对称轴x＝－2的同侧 　　∴点E坐你为(－，) 　　设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小． 　　∵AE长为定值 　　∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． 　　∵点A关于对称轴x＝－2的对称点是B(－3，0) 　　∵由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 　　设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n， 　　∴ 　　解得∴直线BE的解析式为y＝x＋ 　　把x＝－2代入上式，得y＝ 　　∴点P坐标为(－2，) 　　设点E在抛物线y＝－x2－4x－3上， 　　∴y0＝－x02－4x0－3 　　解方程组 　　消去y0，得＋x0＋3＝0 　　∵Δ＜0 　　∴此方程无实数根 　　综上，在抛物线的对称轴上存在点P． 　　解法二： 　　(1)∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A(－1，0) 　　∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0 　　∴t＝3a 　　∴y＝ax2＋4ax＋3a 　　令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0， 　　解得：x1＝－1，x2＝－3 　　∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(－3，0) 　　(2)由y＝ax2＋4ax＋3a，得D(0，3a) 　　∴梯形ABCD中，AB∥CD 　　且点C在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a上 　　∴C(－4，3a) 　　∴AB＝2，CD＝4 　　∵梯形ABCD的面积为9 　　∴(AB＋CD)·OD＝9 　　解得OD＝3 　　∴|3a|＝3 　　∴a＝±1 　　∴所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或y＝－x2－4x－3 　　(3)同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 　　如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q 　　设对称轴与x轴的交点为F 　　由PF∥EQ， 　　可得＝ 　　∴＝ 　　∴PF＝ 　　∴点P坐标为(－2，) 　　以下同解法一．

提示：

有关二次曲线和二次方程的问题蕴含很多知识点，有较大的命题空间，所以一直是各地中考命题的热点．这类问题的叙述往往较长，先给出一些总的前提条件，而后一般给出2～3个小问题，其中每个小问题再给出几个针对这个问题的条件．本题第(1)小题可以根据抛物线的对称性求得，亦可令y＝0解出二次方程的根，即为抛物线与x轴的交点坐标．第(2)小问利用梯形ABCD的面积，求出a的值，进而求得抛物线的解析式．第(3)小问是一道结论探索性问题，这类问题的叙述形式往往叙述为“若存在，请求出，若不存在，请说明理由”．通常的解法是，按求解题去做，若遇到不可逾越的困难或矛盾，再设法从“不存在”方面去考虑．求本小题的关键在于通过图形的分析得到直线BE的解析式，由此确定P点坐标，使问题得到解决．