练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•历下区一模）已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（P与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1
    （1）BC、AP1的长；
    （2）①求过B、P1、D三点的抛物线的解析式；
    ②求当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值；
    （3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由．
    分析：（1）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
    （2）①把点B、P1、D的坐标分别代入抛物线解析式y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求该抛物线的解析式；
    ②根据①的抛物线的解析式求得对称轴方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的对应边的比成比例来求r的值；
    （3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．
    解答：解：（1）∵点在直线y=2x+1上，
    ∴B（0，1）．
    又∵A（0，3），
    ∴AB=2，BC=2AB=4．
    ∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
    ∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
    又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
    ∴∠AP1F1=∠BAF1．
    在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
    ∵∠BP1A=∠CAB，
    ∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
    ∴
    AB
    BC
    =
    AP1
    AB
    ，AP1=
    AB2
    BC
    =
    22
    4
    =1；


    （2）易求B（0，1）、P1（1，3）、D（4，3）．
    设过B、P1、D三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），则
    1=c
    3=a+b+c
    3=16a+4b+c
    ，
    解得，
    a=-
    1
    2
    b=
    5
    2
    c=1
    ，
    所以抛物线解析式为：y=-
    1
    2
    x2+
    5
    2
    x+1；
    ②在Rt△ABP1中，∵AB=2，AP1=1，
    ∴BP1=
    		5
    ，
    当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=
    		5
    -1；
    ∵抛物线解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    5
    2
    x+1，
    ∴抛物线的对称轴是为：x=
    5
    2
    ．
    当⊙P与直线x=
    5
    2
    相切时，AP=
    5
    2
    -r或AP=
    5
    2
    +r．
    ∵△AFP∽△ADC，
    ∴AP：AC=PF：CD，即AP：2
    		5
    =（
    		5
    -1）：2，
    ∴AP=5-
    		5
    ．
    当AP=
    5
    2
    -r时，
    5
    2
    -r=5-
    		5
    ，解得r=
    		5
    -
    5
    2
    （不合题意，舍去）；
    当AP=
    5
    2
    +r时，
    5
    2
    +r=5-
    		5
    ，解得r=
    5
    2
    -
    		5
    ．
    综上所述，当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值是
    5
    2
    -
    		5
    ；

    （3）外离或相交．理由如下：
    ∵Rt△APF∽Rt△ACD，
    ∴AP：AC=PF：CD，
    ∴AP=5-
    		5
    ．
    设AP=m，梯形PECD的面积为S．
    ∵1≤m＜4，
    ∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
    ∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）．
    ∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，
    ∴S四边形PECD=5或者S四边形PECD=3，
    当S四边形PECD=5时，9-2m=5，m=2，即AP=2，
    ∴1≤AP＜5-
    		5
    ，
    ∴此时两圆外离．
    当S四边形PECD=3时，9-2m=3，m=3，即AP=3，
    ∴5-
    		5
    ＜AP＜4，
    ∴此时两圆相交．
    点评：本题综合考查了函数解析式，及直线与圆、圆与圆的位置关系．圆与圆的位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外切、内切），直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样一来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）方程组
    2x+y=4
    x+2y=5
    的解是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，若∠CEB=45°，则∠CFE=
    67.5°
    67.5°
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）已知a2-2a=1，则代数式3a2-6a-5的值是
    -2
    -2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是
    		10
    +5
    		10
    +5
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案