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    （2009•鄂尔多斯）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y．
    （1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
    （2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变．
    ①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围；
    ②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）本题可通过构建三角形，通过证全等来得出AE与CF相等的关系，连接OA，那么只要证明三角形AEO和OFC全等即可，根据ASA可得出三角形AEO和OFC全等；
    （2）①本题可通过证△BEO∽△COF相似，得出关于x，y的比例关系，然后得出x，y的关系式；
    ②可根据①中得出的式子求x的值，注意要分三种情况进行讨论．
    解答：解：（1）线段AE与CF之间有相等关系．
    证明：连接AO．如图2，
    ∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，
    ∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
    ∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
    ∴∠EOA=∠FOC．
    ∴△EOA≌△FOC，
    ∴AE=CF．

    （2）①连接AO．
    如图4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
    ∴∠C=∠B=45°，
    ∴∠BEO+∠EOB=135°，
    ∵∠EOF=45°，
    ∴∠FOC+∠EOB=135°，
    ∴∠FOC=∠BEO，
    ∴△BEO∽△COF，
    ∴．
    在Rt△ABC中，BC==2，点O为BC的中点，
    ∴BO=OC=．
    ∵BE=x，CF=y，
    ∴，即xy=2，
    ∴．
    取值范围是：0＜x≤2．
    ②△OEF能构成等腰三角形．
    当F与A重合时，x=1，此时OE=EA（或OE=EF）；
    当E与A重合时，此时x=2，OA=OF（或EF=OF）；
    当E、F分别在A点的两边时，x=，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．
    点评：本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点．
    要注意的是旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
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    （2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，当平行四边形OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使?OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

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