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    精英家教网已知任意三角形ABC，其面积为S．作BC的平行线与AB、AC分别交于D、E．设三角形BDE的面积为M，求证：M≤
    14
    S    ．
    分析：由于△ADE与△BDE是等高的三角形，可得
    M
    S△ADE
    =
    BD
    AD
    ，同理亦可得
    S△ADE
    S△ABE
    =
    AD
    AB
    ，
    S△ABE
    S 
    =
    AE
    AC
    再由平行线分线段成比例的性质可得M与S的关系，进而即可求解．
    解答：证明：由于△ADE与△BDE是等高的三角形，
    故
    M
    S△ADE
    =
    BD
    AD
    =
    AB-AD
    AD
    =
    AB
    AD
    -1(1)    精英家教网
    又△ADE与△ABE也是等高三角形，
    故
    S△ADE
    S△ABE
    =
    AD
    AB
    （2）
    同理，
    S△ABE
    S 
    =
    AE
    AC
    （3）
    又DE∥BC，故
    AD
    AB
    =
    AE
    AC
    ，设此比值为x
    将（1），（2），（3）式相乘，
    得
    M
    S
    =(
    AB
    AD
    -1)•
    AD
    AB
    •
    AE
    AC
    =(1-
    AD
    AB
    )
    AD
    AB

    即
    M
    S
    =(1-x)x
    法一：展开得Sx2-Sx+M=0有实根，
    故△=S2-4SM≥0
    解之得M≤
    1
    4
    S
    法二：由
    M
    S
    =(1-x)x=
    1
    4
    -(x-
    1
    2
    )2 ≤
    1
    4
      ?M≤
    1
    4
    S    ．
    点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及三角形的面积问题，能够熟练求解．
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    7
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