Question

1．若方程x2-

k-1

x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

 

．
2．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．
（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析：1、根据x2-

k-1

x-1=0有两个不相等的实数根，利用△＞0，解得k即可
2、（1）连接AE，利用△DBE是正三角形，求证△ABE∽△ADE，利用对应角相等再求证△EFA是等腰直角三角形即可．
（2）设AF=x，由勾股定理得x²+（2+x）²=（2

2

）²解此方程即可求得AF的长．

解答：解：1、∵x2-

k-1

x-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=

k-1

2+4＞0，
解得k＞1；

2、（1）AF=EF，
理由如下：连接AE，
∵△DBE是正三角形，
∴EB=ED，
∵AD=ABAE=AE，
∴△ABE∽△ADE，
∴∠BEA=∠DEA=

1

2

×60°=30°，
∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，
∵EF⊥AD，
∴△EFA是等腰直角三角形，
∴EF=AF；

（2）设AF=x，
∵AD=2BD=2

2

=EDFD=2+x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得EF²+FD²=ED²即x²+（2+x）²=（2

2

）²，
∴x=

3

-1（x=-

3

-1舍去），
∴AF=

3

-1．
答：AF的长为

3

-1．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，根的判别式，够勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质等知识点的理解和掌握，综合性强，有一定的拔高难度，属于中档题．