Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴方程；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴x==1；

（2）当∠ACB=60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为（1，-2），
设y=a（x+1）（x-3），把C点坐标（1，-2）代入，
解得a=；
当∠ACB=90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，-2），
设y=a（x+1）（x-3），把C点坐标（1，-2）代入，
解得a=，
即当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，≤a≤；

（3）由于C（1，-4a），D（0，-3a），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
即，
解得k=-a，b=-3a，
直线CD的解析式为y=-a（x+3），
故求出E点坐标为（-3，0）；
分两类情况进行讨论；
①如图1，△EHF≌△FKC，
即HF=CK=3，
4a+1=3，
解得a=；
②如图2，△EHF≌△FKC，
即EK=HF=3；
即4a=3，解得a=；
同理，当点F位于y轴负半轴上，a=
综上可知在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，且a=、a=或a=
分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），即可求出抛物线的对称轴；
（2）分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的值，进而求出使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）分别写出C点和D点的坐标以及E点的坐标，再进行分类讨论证明△EHF≌△FKC，列出a的方程，解出a的值．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是能够利用数形结合进行解题，此题的难度较大，特别是第三问需要进行分类讨论解决问题．