Question

给定直角三角形ABC，BC=a，CA=b，AB=c，∠ACB=90°，在BC边上取异于两端点的点P，过P作AB边的垂线，垂足为R，交AC的延长线于Q．
（1）设PC=x，△PQC，△PBR的面积分别为S₁、S₂，试用a、b、c表示S₁+S₂
（2）当点P在BC边上变动时，求S₁+S₂的最小值及此时x的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据相似三角形△ABC∽△PQC的对应边成比例知

BC

CA

=

QC

CP

，由此求得QC的值；然后根据直角三角形的面积公式知S₁=

1

2

QC•PC=

b

2a

x2；同理，由△ABC∽△PBR的对应边成比例知

BC

BR

=

CA

RP

=

AB

BP

，由此可以求得BR=

a(a-x)

c

，RP=

b(a-x)

c

，所以S₂=

1

2

BR•RP=

ab(a-x)2

2c2

；
（2）将（1）中的S₁+S₂=

b

2a

x2+

ab(a-x)2

2c2

=

a

2bc2

[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]利用配方法转化为S₁+S₂═

a(b2+c2)

2bc2

(x-

ab2

b2+c2

)2+

a3b

2(b2+c2)

；然后利用二次函数的最值的求法解答该题．

解答：解：（1）∵△ABC∽△PQC，
∴

BC

CA

=

QC

CP

，
∴QC=

a

b

x，
∴S₁=

1

2

QC•PC=

b

2a

x2；
又∵△ABC∽△PBR，
∴

BC

BR

=

CA

RP

=

AB

BP

，
∴

a

BR

=

b

RP

=

c

a-x

，
∴BR=

a(a-x)

c

，RP=

b(a-x)

c

，
∴S₂=

1

2

BR•RP=

ab(a-x)2

2c2

；
∴S₁+S₂=

b

2a

x2+

ab(a-x)2

2c2

=

a

2bc2

[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]；

（2）由（1），得
S₁+S₂=

b

2a

x2+

ab(a-x)2

2c2

，
=

a

2bc2

[(b2+c2)x2-2ab2x+a2b2]，
=

a(b2+c2)

2bc2

(x-

ab2

b2+c2

)2+

a3b

2(b2+c2)

；
∵0＜

b2

b2+c2

a＜a，
∴当x=

ab2

b2+c2

时，S₁+S₂取得最小值

a3b

2(b2+c2)

．

点评：本题考查了相似的综合题．解题的关键是求本题中的二次函数的最值时，注意

ab2

b2+c2

的取值范围．