Question

阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=

1

2

AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

•

360°

3

=60°，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=

1

2

•r•2rtan60°=r2tan60°，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=

 

；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=

 

．

Answer 1

分析：（1）同求正三边的面积的方法一样先计算出中心角∠AOB=90°，在Rt△AOC中，用r表示出AC，然后表示出△OAB的面积，利用S_正四边形=4S_△AOB计算即可；
（2）同（1）一样，只是中心角=

360°

5

=72°，得到∠AOC=36°；
（2）同（1）一样，只是中心角=

360°

n

，得到∠AOC=

180°

n

．

解答：解：（1）4r²•tan45°；

（2）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OA，OC，OB，如图，
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=

1

2

∠AOB，AB=2AC，
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

•

360°

5

=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=

1

2

•2r•tan36°•r=r²•tan36°，
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²•tan36°；

（3）nr²•tan

180°

n

．

点评：本题考查了正多边形的内切圆的性质：圆心到各边的距离相等，都等于圆的半径；也考查了解直角三角形和三角形的面积公式以及正多边形的性质．