Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG²=4CF•CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①根据正方形的性质求证△ABP≌△CBP，再利用全等三角形的性质和直角三角形中两锐角互余的性质求证∠5=∠G，∠3=∠4，从而得出EG=EF，即E为FG的中点．
②先求证△CEF∽△CDE，可得CE²=CF•CD，再利用FG=2CE，然后代入即可得出结论．
③根据AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，求证△ABP≌△CBP，再利用AB∥CD，EF=CE，求证D、P、C、E四点共圆，然后可得∠DAP=∠DCP=∠DEA即可证明结论．
④根据△PDF∽△PBA，利用其对应边成比例可求得CF=DF．
解答：解：①如图：正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，
在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，
∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，
∴∠5=∠G，
∴EC=EG．
在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，
∴∠3=∠4，
∴EC=EF，
从而得出EG=EF，即E为FG的中点．
∴①正确．
③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFA，
∵AB=BP，
∴∠1=∠BPA，
∵∠DPF=∠APB，
∵EF=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠DPE，
∴D、P、C、E四点共圆，
∴∠DEA=∠DCP，
∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，
∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，
∴AD=DE，
∴③正确，
②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），
∴△CEF∽△CDE，
∴=，即CE²=CF•CD，
∵∠3=∠4，
∴CE=EF，
∵E为FG的中点．
∴FG=2CE，即CE=FG，
∴=CF•CD，
即FG²=4CF•CD，
∴②正确．
④∵四边形ABCD是正方形，
∴△PDF∽△PBA，
∴==，
∴=，
∴=，
即CF=DF，
∴④错误，
综上所述，正确的由①②③．
故选C．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．