Question

方程x²+ax+b=0的两根为x₁，x₂，若存在实数a，b使得，则我们就称这样的两个根（x₁，x₂）为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有________组．（参考公式：a³+b³=（a+b）[（a+b）²-3ab]）

Answer 1

3
分析：先根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，进而分别求出x₁³+x₂³与x₁²+x₂²的值，根据已知条件x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，于是-a³+3ab=a²-2b=-a，分情况讨论：①当a=0，易求b=0；②当a≠0，从等式-a³+3ab=a²-2b=-a入手可得a²-3b=1①与a²+a-2b=0②，①-②，可得a+b=-1，那么b=-a-1，再把b的值代入②，可得a²+3a+2=0，解得a=-1或a=-2，从而可得b=0或b=1，进而可得a、b的三组数值：或或，代入x₁+x₂=-a，x₁x₂=b中，可求出相应的x₁、x₂的3组数值．
解答：根据题意，得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵x₁³+x₂³=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]，
∴x₁³+x₂³=-a（a²-3b）=-a³+3ab，
x₁²+x₂²=a²-2b，
∵x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，
∴-a³+3ab=a²-2b=-a，
（1）若a=0，则b=0；
（2）若a≠0，那么
-a（a²-3b）=-a，
于是a²-3b=1①，
由于a²-2b=-a，
所以a²+a-2b=0②，
①-②，得
a+b=-1，
于是b=-a-1，
把b=-a-1代入②，得
a²+a-2（-a-1）=0，
化简，得
a²+3a+2=0，
解得a=-1或a=-2，
于是b=0或b=1，
∴或或，
与之对应的两根分别是
或或．
故答案是3．
点评：本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是要注意分情况讨论．