Question

如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF．
（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）
（2）将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）AB=AE，AB⊥AE；

（2）将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合），
理由如下：
∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，
∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°，
又∵AC=BC，DF=EF，
∴∠DEF=∠D=45°，
在△CEG中，∵∠ACE=90°，
∴∠CGE+∠DEF=90°
∴∠CGE=∠DEF=45°，
∴CG=CE，
在△BCG和△ACE中，
∵，
∴△BCG≌△ACE（SAS），
∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合）．
分析：（1）根据题意，BC=AC=DF=EF，且AC⊥BC，可知△ABC，△DEF为等腰直角三角形，得出结论；
（2）将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合．已知BC=AC，由（1）可知∠DEF=45°，可知△CEG为等腰直角三角形，则CG=CE，利用“SAS”证明△BCG≌△ACE，得出结论．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是熟练运用等腰直角三角形的性质解题．