Question

已知：点A、B分别是直线m、n上两点，在直线n上找一点C，使BC=AB，连接AC，在线段AC上取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）当∠ABC=60°时（如图1），求证：AE+AF=BC；
（2）当∠ABC=90°时（如图2），则AE、AF、BC之间的数量关系是______；
（3）当∠ABC=120°时（如图3），设EF与AB交于点M，若AC=4，AF=1，求EM的长．

Answer 1

解：（1）在AB上截取AG=AF，则△AFG是等边三角形，连接FG、FB（如图1）；
∵∠BAF=∠BEF=60°，
∴A、F、B、E四点共圆，
∴∠AEF=∠ABF（即∠GBF）；
又∵AF=GF，∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°，
在△EAF与△BGF中，
∵，
∴△EAF≌△BGF，
∴AE=BG，故AF+AE=AB=BC．

（2）在AB上截取AG=AF，连接FG，则△AFG是等腰直角三角形，连接FB（如图2）；
同（1）可证得△EAF∽△BGF，
得：BG：AE=FG：AF=，即BG=AE；
∴BC=AB=AG+BG=AF+AE．

（3）在AB上截取AG=AF，连接FG，则△AFG是等腰三角形，且∠AFG=∠AGF=30°，连接FB（如图3）；
同（1）（2）可证得：BC=AF+AE，即AE=；
在等腰△AFG中，AF=AG=1，∠FAG=120°，易求得FG=；
∵∠EAM=∠FGA=30°，∠AME=∠FMG，AE=FG=，
∴△AME≌△GMF，得AM=MG=，ME=MF；
同（1）（2）可知：A、F、B、E四点共圆，由相交弦定理得：
ME•MF=AM•BM，即ME²=AM•BM=×（4-）=，解得ME=．

分析：（1）连接BF，在AB上截取AF=AG，连接FG，则△FAG是等边三角形，得AF=FG，∠EAF=∠FGB=120°；由于∠FAB=∠BEF=∠ABC，所以E、A、F、B四点共圆，由圆周角定理得求得∠AEF=∠GBF，即可证得△AEF≌△GBF，由此可得AE=BG，即可证得所求的结论．
（2）思路和辅助线作法同（1），只不过全等换成了相似，相似比由1：1变为了：1，因此结论应该是BC=AE+AF．
（3）辅助线作法同（1），参照（1）（2）的求解过程，可推出BC=AF+AE，进而可根据BC、AF的长得到AE的值；在Rt△AFE中，易求得FG=AE=，那么可证得△AEM≌△GFM，即可得到AM=MG，且ME=FM，因此只需求得FM即可．由（1）（2）的解答过程可知A、F、B、E四点共圆，在这个圆中，利用相交弦定理即可求得ME的值．
点评：此题主要考查了相似三角形及全等三角形的判定和性质、确定圆的条件以及相交弦定理等知识，综合性强难度较大．