Question

如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．
（1）试说明CE平分∠BED；
（2）若AB=3，BC=5，求BO的长；
（3）延长BO交直线AD于点F，连接CF，画出图形，试说明四边形BCFE是菱形．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
又∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC．
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED；

（2）在Rt△BAE中，AB=3，BE=BC=5，
有勾股定理得：AE=4，
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
有勾股定理得：EC=，
在Rt△BOC中，BC=5，CO=，
由勾股定理得：BO==，

（3）如图所示：
∵FE∥CB，
∴∠EFO=∠COB，
∵BE=BC，BO⊥CE，
∴EO=CO，
在△FEO和△BCO中，
，
∴△FEO≌△BCO（AAS），
∴EF=BC，
∴四边形EFCB是平行四边形，
∵EC⊥BF，
∴四边形EFCB是菱形．
分析：（1）根据矩形的性质AD∥BC，所以∠BCE=∠DEC，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（2）利用勾股定理先求出AE、EC的长，在△BCO中根据勾股定理即可求出BO；
（3）根据题意画出图形，首先证明BCEF是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明四边形BCEF是菱形．
点评：本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，以及菱形和平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．