Question

如图点A，点B是反比例函数上两点，过这两点的直线与x轴的夹角为45度，与y轴的交点为（0，2），作AC∥x轴，AC⊥BC于点C，
①求阴影部分面积（用k的代数式表示）；
②若BC和AC分别交x轴、y轴于D，E，连接DE，求证：△ABC∽△EDC；
③若S_△ABC=4，求出这两个函数解析式．

Answer 1

解：①直线AB交两坐标轴分别为P点和Q点，如图，
设A（m，），B（n，），直线AB的解析式为y=ax+b，
∴=ma+b，=na+b，
∴a=-k，b=k，
∴直线AB的解析式为y=-kx+k，
∴P（0，k），Q（m+n，0），
∴S_阴影部分=S_△ABC-S_△OPQ=（n-m）（-）-[-（m+n）]•=2k；

②连DE、BE、AD，如图，
∵S_△BDE=••n=k，S_△ADE=•（-m）•（-）=k，
∴S_△BDE=S_△ADE，
∴两个三角形DE边上的高相等，
∴两条高及直线DE、AB组成平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC；

③由题意得：OP=OQ=2，
∴P（0，2），Q（-2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+2，
-2k+2=0，
解得k=1，
∴y=x+2；
由题意得：△ABC为等腰直角三角形，
∵S_△ABC=4，
∴BC=2，
∵DE∥AB，
∴△DEC为等腰直角三角形，
设B的横坐标为a，作PF⊥BC于F，则DF=OP=2，BF=CD=EC=a，
∴2-2a=2，
解得a=-1，
∴BD=BC-CD=+1，
∴k=（-1）（+1）=1，
∴反比例函数解析式为y=．

反比例函数：y=；一次函数：y=x+2．
分析：①根据A、B为反比例函数上的点设出A、B两点的坐标及过AB的直线解析式，把A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得直线AB的解析式，进而得到P、Q两点的坐标，根据阴影部分的面积=S_△ABC-S_△OPQ计算即可；
②易得S_△BDE=S_△ADE，那么两个三角形DE边上的高相等，所以DE∥AB，可证得两三角形相似；
③利用等腰直角三角形的定义易得P、Q两点的坐标，设出一次函数解析式，把P、Q两点坐标代入，即可求得一次函数解析式，根据△ABC的面积及形状易得BC的边长，进而判断出点B的坐标，代入反比例函数，即可求得反比例函数解析式．
点评：综合考查反比例函数的性质及应用；根据反比例函数的特点设出相关点的坐标是解决本题的突破点；注意常用同底的三角形的面积相等推导出两直线平行．