Question

4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙P交BC于点E，连接EO并延长交AD于点F．
（1）求证：OE是⊙P的切线；
（2）OA=OF．

Answer 1

分析 （1）连接PE、AE．依据直径所对的圆周角是90°可得到∠AEB=90°，依据同角的余角相等可证明∠ABE=∠EAO，然后利用直角三角形斜边上中线的性质可得到OA=OE，从而可证明∠OAE=∠OEA，于是可得到∠ABE=∠AEO，接下来再证明∠PEA+∠AEO=90°即可；
（2）先证明OA是⊙P的切线，依据切线长定理可得到OA=OE，接下来证明四边形ABCD为平行四边形，从而可得到AD∥BC，然后证明△DFO≌△BEO可得到OE=OF，通过等量代换可得到OA=OF．

解答 解：（1）如图所示：连接PE、AE．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAO．
∵OA=OC，
∴OA=OE=$\frac{1}{2}$AC．
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠ABE=∠AEO．
∵PE=PA，
∴∠PAE=∠PEA．
∴∠PEA+∠AEO=∠ABE+∠BAE=90°．
∴∠OEP=90°，
∴OE是⊙O的切线；
（2）∵点A在⊙P上，∠BAO=90°，
∴OA是⊙P的切线．
又∵OE为⊙P的切线，
∴OA=OE．
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠FDO=∠EBO．
在△DFO和△BEO中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠DOF}\\{∠FDO=∠EBO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△DFO≌△BEO．
∴OE=OF．
∴OA=OF．

点评 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．