Question

28、（1）如图1，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，AD⊥m，BE⊥m，垂足分别为D、E．试说明：
①△ADC≌△CEB；
②AD+BE=DE；
（2）习题演变：如图2，等腰△ABC中，AC=CB，若顶点C在直线m上，点D、E也在直线m上，若∠ACB=∠ADC=∠CEB=110°，题（1）的结论AD+BE=DE还成立吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①根据已知首先证明∠DAC=∠ECB，再利用AAS即可得出△ADC≌△CBE；
②利用△ADC≌△CBE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；
（2）根据已知首先证明∠DAC=∠ECB，再利用AAS即可得出△ADC≌△CBE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．

解答：证明：（1）①∵AD⊥m，BE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，
∴△ADC和△BEC都是直角三角形，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，AB=BC
所以△ADC≌△CBE（AAS），
②∵△ADC≌△CBE
∴CE=AD，BE=DC
∴AD+BE=CE+CD
所以AD+BE=DE；
（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，
∠ACB=∠ADC=∠CEB=110°，
∴∠DCA+∠DAC=180°-110°=70°，∠ECB+∠CBE=180°-110°=70°，
∠DCA+∠ECB=180°-110°=70°，
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠ADC=∠CEB=110°，AC=CB，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴CE=AD，BE=DC
∴AD+BE=CE+CD
所以AD+BE=DE．

点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAC=∠ECB再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．