Question

如图，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为B（-1，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）该二次函数图象上有点D（x，y），使S_△ABD=S_△ABC，求点D坐标．

Answer 1

解：（1）将点B（-1，0）代入y=-x²+2x+m中，得：
-1-2+m=0，m=3
即m的值为3．

（2）由（1）知：抛物线的解析式 y=-x²+2x+3，当y=0时，
-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴A（3，0）、B（-1，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+b，有：
，
解得
故直线AC：y=-x+3．

（3）以AB为底，若S_△ABD=S_△ABC，则点C、D到直线AB的距离相等；
若设D（x，y），则y=±3，代入抛物线的解析式中，有：
y=3时，-x²+2x+3=3，解得：x₁=0、x₂=2，
∴D₁（2，3）；
y=-3时，-x²+2x+3=-3，解得：x₃=1+、x₄=1-
∴D₂（1+，-3）、D₃（1-，-3）．
综上，点D的坐标为：（2，3），（+1，-3），（-+1，-3）．
分析：（1）将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值．
（2）首先由（1）的函数解析式，求出点A的坐标．在已知点A、C坐标的情况下，利用待定系数法确定直线AC的解析式．
（3）△ABD、△ABC中，若以AB为底进行讨论，当它们的面积相等时，点C、D到线段AB的距离必然相等，根据这个特点先确定D点的纵坐标，再代入抛物线的解析式中进行求解即可．
点评：该题考查的内容较为简单，主要涉及了函数解析式的确定和图形面积的解法．解题过程中，要注意数形结合思想的应用，例如：最后一题中，通过图示发现C、D两点纵坐标的关系是突破题目的关键．