Question

已知直线l₁、l₂经过K（2，2）
（1）如图1，直线l₂⊥l₁于K．直线l₁分别交x轴、y轴于A点、B点，直线l₂，分别交x轴、y轴于C、D，求OB+OC的值；
（2）在第（1）问的条件下，求S_△ACK-S_△OCD的值：
（3）在第（2）问的条件下，如图2，点J为AK上任一点（J不于点A、K重合），过A作AE⊥DJ于E，连接EK，求∠DEK的度数．

Answer 1

（1）解：过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN，垂足分别为M、N，
则∠KNB=90°，∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°，
即∠NKM=90°，
∵K（2，2），
∴KM=KN=2，
∵DK⊥AB，
∴∠BKC=∠AKC=∠NKM=90°，
∴∠CKM=∠BKN=90°-∠NKC，
在△KCM和△KBN中

∴△KCM≌△KBN，
∴CM=BN，
∴OB+OC=ON+BN+OC=ON+CM+OC=ON+OM=2+2=4．

（2）解：∵∠AKC=∠MKN=90°，
∴∠AKM=∠NKD=90°-∠CKM，
∵∠KND=∠KMA=90°，
∴在△AMK和△DNK中

∴△AMK≌△DNK，
∴S_△AMK=S_△DNK，
∴S_△ACK-S_△OCD=S_△AMK+S_△CKM-S_△DOC=S_△DNK-S_△DOC+S_△CKM=S_{正方形OMKN}=2×2=4．

（3）解：
由（2）知△AMK≌△DNK．AK=DK，
在DE上截取DF=AE，连接KF，
∵AE⊥EF，DK⊥AB，
∴∠DKJ=∠AEJ=90°，
∵∠KJD=∠EJA，
∴由三角形内角和定理得：∠KDF=∠KAE，
在△KDF和△KAE中

∴△KDF≌△KAE，
∴KF=EK，∠DKF=EKA，
∵∠DKA=90°，
∴∠FKE=∠FKA+∠EKA=∠FKA+∠DKF=∠CKA=90°，
∴△KEF是等腰直角三角形，
∴∠DEK=45°．
分析：（1）过K点分别作x轴、y轴的垂线KM、KN，垂足分别为M、N，求出∠KNB=90°，∠KNO=∠KMO=∠NOM=90°，KM=KN=2，求出∠CKM=∠BKN，证△KCM≌△KBN，推出CM=BN，求出OB+OC=ON+OM，即可求出答案；
（2）求出∠AKM=∠NKD，∠KND=∠KMA=90°，证△AMK≌△DNK，得出S_△AMK=S_△DNK，求出S_△ACK-S_△OCD=S_{正方形OMKN}，即可求出答案．
（3）求出AK=DK，在DE上截取DF=AE，连接KF，由三角形内角和定理求出∠KDF=∠KAE，证△KDF≌△KAE，求出KF=EK，∠DKF=EKA，求出∠FKE=∠CKA=90°，得出△KEF是等腰直角三角形，求出即可．
点评：本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．