Question

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=6，以斜边AB的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，先计算出AB=2AC=12，则BD=6，再根据旋转的性质得B′D′=BD=6，则在Rt△BDM中可计算出DM=2$\sqrt{3}$，BM=2MD=4$\sqrt{3}$，所以B′M=B′D-DM=6-2$\sqrt{3}$，接着在Rt△B′MN中计算出MN=$\frac{1}{2}$B′M=3-$\sqrt{3}$，所以BN=3+3$\sqrt{3}$，在Rt△BNG中计算NG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=3+$\sqrt{3}$，然后利用S_阴影部分=S_△BNG-S_△BDM进行计算即可．

解答 解：如图，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵点D为AB的中点，
∴BD=6，
∵△ABC绕点D逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，
∴B′D′=BD=6，
在Rt△BDM中，∵∠B=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=2$\sqrt{3}$，BM=2MD=4$\sqrt{3}$，
∴B′M=B′D-DM=6-2$\sqrt{3}$，
在Rt△B′MN中，MN=$\frac{1}{2}$B′M=3-$\sqrt{3}$，
∴BN=3-$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=3+3$\sqrt{3}$，
在Rt△BNG中，NG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BN=3+$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_△BNG-S_△BDM=$\frac{1}{2}$•（3+$\sqrt{3}$）•（3+3$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•6=9．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．