Question

（2011•温州一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，延长AB到点C，过C作CD⊥AE，交AE的延长线于D，连接CE，已知∠1=∠A．
（1）证明：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为3，当∠1=∠2时，求

AE

的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，则得∠A=∠OEA，由已知通过等量代换推出∠OEA+∠CED=90°，从而得出∠OEC=90°，即证出CE是⊙O的切线；
（2）由∠A=∠1=∠2和∠D=90°，得出∠A=30°，从而得出∠AOE=120°，再根据弧长公式求出

AE

的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
又∠1=∠A，
∴∠1=∠OEA，
∵∠D=90°，
∴∠1+∠CED=90°，
∴∠OEA+∠CED=90°，
∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠D=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠A=∠1=∠2，
∴∠A=30°，
∴∠AOE=120°，
∴

AE

的长为：

120π×3

180

=2π，
答：

AE

的长是2π．

点评：此题考查的知识点是切线的判定及弧长的计算，关键是作辅助线和已知先得出∠OEC=90°及由已知求出∠AOD=120°．