Question

如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于M，则△AMC的周长为（ ）

A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设出线段OC和AC的长分别为b和a，表示出点A的坐标（b，a），由点A在双曲线上，把A的坐标代入到反比例函数解析式中得到ab的值，再根据勾股定理，由OA的值表示出另一个关于a与b的关系式，然后利用完全平方公式表示出a+b的平方，将ab的值和表示出的关系式代入，开方即可求出a+b的值，又M为OA垂直平分线与x轴的交点，根据线段垂直平分线的性质得到OM与MA相等，根据等量代换及线段相加得到三角形AMC的周长等于OC+AC，即为a+b的值．
解答：解：设AC=a，OC=b，故点A坐标（b，a），
由点A在双曲线上得：ab=2，根据勾股定理得：a²+b²=16，
则（a+b）²=a²+2ab+b²=16+4=20，
∴a+b=2，即OC+AC=2，
又∵OA的垂直平分线交OC于M，
∴OM=AM，
∴△AMC的周长C=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=2．
故选C
点评：此题考查了线段垂直平分线定理，勾股定理及双曲线的性质的运用．学生做题时注意利用整体代换及转化的数学思想解决实际问题．