Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2，现把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0°线MN与EF重合；若将量角器0°线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α（0°＜α＜90°），此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n°．
（1）用含n°的代数式表示∠α的大小；
（2）当n°等于多少时，线段PC与MF平行？
（3）在量角器的旋转过程中，过点M′作GH⊥M′F，交AE于点G，交AD于点H．设GE=x，△AGH的面积为S，试求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）连接O′P，则∠PO′F=n°；
∵O′P=O′F，
∴∠O′FP=∠a，
∴n°+2∠α=180°，即∠α=90°-n°；

（2）连接M′P、PC．
∵M′F是半圆O′的直径，
∴M′P⊥PF；
又∵FC⊥PF，
∴FC∥M′P，
若PC∥M′F，
∴四边形M′PCF是平行四边形，∠α=30°，
∴PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°；
代入（1）中关系式得：
30°=90°-n°，
即n°=120°；

（3）以点F为圆心，FE的长为半径画弧ED；
∵GM′⊥M′F于点M′，
∴GH是弧ED的切线，
同理GE、HD也都是弧ED的切线，
∴GE=GM′，HM′=HD；
设GE=x，则AG=2-x，
设DH=y，则HM′=y，AH=2-y；
在Rt△AGH中，AG²+AH²=GH²，得：
（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²
即：4-4x+x²+4-4y+y²=x²+2xy+y²
∴y=
∴S=AG•AH=（2-x）（2-y）=（0＜x＜2）
即：S与x函数关系式为S=（0＜x＜2）．
分析：（1）连接O′P，则∠PO′F=n°，因为O′P=O′F，所以∠O′FP=∠a，由三角形内角和定理得出结论；
（2）连接M′P，因为M′F是半圆O′的直径，所以M′P⊥PF，又因为FC⊥PF，所以FC∥M′P，若PC∥M′F，四边形M′PCF是平行四边形，故PC=M′F=2FC，∠α=∠CPF=30°，代入（1）中关系式即可；
（3）以点F为圆心，FE的长为半径画弧ED，由于GM′⊥M′F于点M′，则GH是弧ED的切线．同理GE、HD也都是弧ED的切线，GE=GM′，HM′=HD．设GE=x，则AG=2-x，再设DH=y，则HM′=y，AH=2-y；在Rt△AGH中，由勾股定理得y与x的关系式，再代入三角形的面积公式即可．
点评：本题综合考查了圆周角的判定定理，切线的性质及判定定理，勾股定理的运用，是一道综合性较好的题目．