Question

如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，OA=5，AB=2．点E在线段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，
∵该抛物线经过原点和点C（8，0），
∴设该抛物线的解析式为：y=ax（x-8）（a≠0）．
∵点C（8，0），
∴该抛物线的对称轴是x=4．
∵AB=2，AB∥x轴，
∴设A（3，t），B（5，t），
又∵OA=5，
∴t=4，即A（3，4），B（5，4），
∴把点A的坐标代入解析式，得
4=3a×（3-8），解得a=-，
∴该抛物线的解析式是：y=-x（x-8）（或y=-x²+x）；

（2）根据抛物线的对称性知OA=CB=5．
∵点F是BC的中点，
∴CF=．
∵∠MEN=∠AOC，即∠AEF=∠AOC，∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠AOC+∠OAE，
∴∠CEF=∠OAE，
∴△AOE∽△ECF，
∴=，即=，
解得，OE=，或OE=（不合题意，舍去）．
则E（，0）；

（3）①当AE=EF时，可证△AOE≌△ECF．
则OA=CE=5，
∴OE=3，则E（3，0）；
②当AF=EF时，过点F作FK∥AO．
易证△ABF≌△FKE，求得OE=，则E（，0）；
③当AE=AF时，在AO上取点Q，使得EQ=OE．
易证△ABF≌△EQA，则EQ=AB=2，
∴OE=2．则E（2，0）；
综上所述，点E的坐标是：（3，0）、（，0）或（2，0）时，△AEF是等腰三角形．
分析：（1）根据题意可设该抛物线的解析式为：y=ax（x-8）（a≠0）．然后将点A或点B的坐标代入求值即可；
（2）由相似三角形△AOE∽△ECF的对应边成比例求得线段OE的长度，则易求点E的坐标；
（3）需要分类讨论：当AE=EF、AF=EF和AE=AF时，分别求得点E的坐标．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解．