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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q精英家教网运动的时间为t秒（0≤t≤4）．
    （1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？
    （2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；
    （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；
    （4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；
    ②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．
    分析：（1）可用t表示出OQ，BP的长，三角形OPQ中，OQ边上的高可用BP的长和∠PBO的正弦值求出，由此可得出关于S，t的函数关系式．
    （2）本题分两种情况：
    ①∠BQP=∠BOA，此时PQ∥OA，那么BQ=PB•cos∠PBO．由此可求出t的值．
    ②∠BPQ=∠BOA，此时BP=BQ•sin∠PBO．由此可求出t的值．
    （3）本题中无非是两种情况OQ⊥PQ或OP⊥QP，可分别表示出PO、QO、PQ三条线段的长，然后用勾股定理进行求解即可．
    （4）①如果三角形OPQ是正三角形那么（3）中表示三条线段长的表达式必然相等，可通过解方程求出此时t的值，如果方程无解则说明三角形OPQ不可能是正三角形．
    ②思路同①，设出Q点的速度，然后表示出三条线段的长，令三条线段的表达式相等，即可求出Q的速度和t的值．
    解答：解：（1）S=-0.3t2+
    3
    2
    t    当t=
    5
    2
    时，S最大=
    15
    8
    ．

    （2）①∠BQP=∠BOA，在直角三角形BQP中，BP=
    4
    5
    BQ，
    即5-t=
    4
    5
    （4-t），
    解得t=0．
    ②∠BPQ=∠BOA，在直角三角形BPQ中，BQ=
    4
    5
    BP，
    即4-t=
    4
    5
    （5-t），
    解得t=9；
    因为0≤t≤4，
    ∴t=9不合题意，舍去．
    因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似．

    （3）若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，
    则PQ=
    		PB2-QB2

    =
    		(5-t)2-(4-t)2

    =
    		9-2t
    ．
    PO=
    		PM2+OM2

    =
    		(
    4
    5
    t)    2    +(3-
    3
    5
    t)    2

    =
    		t2-
    18
    5
    t+9
    ．
    OQ=
    		OP2-PQ2

    =
    		t2-
    18
    5
    t+9-9+21

    =
    		t2-
    81
    5
    ≠t（t无解）．
    ∴QP不与OQ垂直
    设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ
    ∴
    NQ
    PQ
    =
    PQ
    OQ
    ，
    t
    5
    PQ
    =
    PQ
    t

    ∴PQ2=
    1
    5
    t2，PQ2=OQ2-OP2=t2-t2+
    18
    5
    t-9=
    18
    5
    t-9
    1
    5
    t2=
    18
    5
    t-9，
    解得t=3，t=15（不合题意舍去）
    ∴当t=3是△OPQ是直角三角形．

    （4）①PO=
    		t2-
    18
    5
    t+9
    ，OQ=t，PQ=
    		(
    t
    5
    )    2    +(3-
    3
    5
    t)    2

    令PO=OQ=PQ，解t无解
    ∴△OPQ不能成为正三角形．
    ②设Q的速度为x，则OQ=xt．
    OP2=t2-
    18
    5
    t+9，OQ2=x2t2，PQ2=
    15
    25
    t2-
    24
    5
    t+12
    令OP2=OQ2=PQ2
    解得x=
    8
    5
    ，t=
    -15±20
    		3
    13

    舍去负值，则t=
    20
    		3
    -15
    13

    因此Q点的速度为
    8
    5
    ，
    t=
    20
    		3
    -15
    13
    ．
    点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和等腰梯形，圆的有关性质等．要熟练掌握才能灵活运用．
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    （1）D点的坐标为
     
    ；
    （2）当t为何值时，△APD是直角三角形；
    （3）如果另有一动点Q，从C点出发，沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能，求出对应的t；如果不可能，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知B（0，4），点A在第一象限，且AB⊥y轴，∠A=30°．
    （1）写出点A的坐标；
    （2）在坐标平面内是否存在点C，使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等？若存在求出点C的坐标；若不存在请说明理由；
    （3）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AO运动，点Q从点O出发，以1厘米/秒的速度沿y轴正方向运动，点P和点Q同时出发，设运动时间是t秒，
    ①当t为何值时，△OPQ是直角三角形？
    ②当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？

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    科目：初中数学 来源：单科王牌　　九年级数学(上) 题型：044

    已知等腰直角三角形ABC的底边为AB，直线l过直角顶点C，分别过点A、B作l的垂线，垂足分别为E、F．

    (1)如图(1)，当l与AB不相交时，求证：EF＝AE＋BF

    (2)如图(2)，当l与AB相交于O，且AO＞BO，其他条件不变，请猜想EF、AE、BF间的等量关系，并证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：044

    如图，已知等腰直角三角形ABC的底边为AB，直线l过直角顶点C，过点A，B分别作l的垂线AE，EF．

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