Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是y轴．经过点C（0，2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上的两动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
（3）设线段PQ=9，G是PQ的中点，求点G到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的对称轴为y轴可得：b=0，再把A（-2，0）、B（0，1）两点坐标分别代入函数的解析式求出a、c即可；
（2）因为P在抛物线上，所以设点P坐标为（p，-

1

4

p²+1）如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系可判断直线l与⊙P的位置关系；
（3）图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F．连接EG并延长交DP的延长线于点K，易证得△EQG≌△KPG，由（2）知抛物线y=-

1

4

x²+1上任意一点到原点O的距离等于该点到直线l：y=2的距离，即EQ=OQ，DP=OP，所以只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，进而求出点G到直线l距离的最小值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是y轴，
∴b=0，
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，0）、B（0，1）两点，
∴c=1，a=-

1

4

，
∴所求抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+1；   

（2）设点P坐标为（p，-

1

4

p²+1），
如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，
∵PH=2-（-

1

4

p²+1）=

1

4

p²+1，
OP=

p2+(- 1 4 p2+1)2

=

1

4

p²+1，
∴OP=PH，
∴直线l与以点P为圆心，PO长为半径的圆相切；     

（3）如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F．连接EG并延长交DP的延长线于点K，
∵G是PQ的中点，
∴易证得△EQG≌△KPG，
∴EQ=PK，
由（2）知抛物线y=-

1

4

x²+1上任意一点到原点O的距离等于该点到直线l：y=2的距离，
即EQ=OQ，DP=OP，
∴FG=

1

2

DK=

1

2

（DP+PK）=

1

2

（DP+EQ）=

1

2

（OP+OQ），
∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，
∵PQ=9，
∴GF≥4.5，即点G到直线l距离的最小值是4.5．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、全等三角形等知识，轴对称-最短路线问题，对学生的能力要求极高，难度很大．