Question

10．如图一，∠ACB=90°，点D在AC上，DE⊥AB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求证：AG=DF；
（2）过点G作GH⊥AD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，进而证得∠AGD=∠FDB=135°，根据三角形内角和证得∠A=∠F，由三角形外角定理证得∠ADG=∠FBD，根据三角形的判定证得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可证得结论；
（2）根据已知条件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性质得到AE=EM，即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，
∴DE=EB=EG，
∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，
∴∠AGD=∠FDB=135°，
∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，
∴∠A=∠F，
∴∠ADG=∠FBD，
在△ADG和△FDB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠FBD}\\{DG=DB}\\{∠AGD=∠FDB}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△FDB，
∴AG=DF；


（2）∵DE=EB，EG=EB，
∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，
在△AED和△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AED=∠MEG}\\{ED=EG}\end{array}\right.$
∴△AED≌△MEB，
∴AE=EM，
∴AE+EB=EM+DE，
即AB=DM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．