Question

如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD， 若，

1.求BC和OF的长；

2.求证：三点共线；

3.小叶从第（1）小题的计算中发现：等式成立，于是她得到这样的结论：如图（2），在中，，，垂足为，设，，则有等式成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由.  

 

Answer 1

【答案】

 

1.BC=10，OF=4.8。

2.见解析

3.见解析

【解析】（1）解：（第1小问共6分，若有其他方法，请酌情给分）

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°---------------1分

又∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G

         ∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD---------------2分

         ∴∠OBC+∠OCB=90°---------------3分

又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8

∴---------------4分[来源:Zxxk.Com]

∴---------------5分

即：10×OF=6×8

∴OF=4.8---------------6分

（2）（第2小问共4分）

证法一：连接OE，OG---------------1分

∵BO分别平分∠ABC

 

∴∠EBO=∠FBO

又∵AB，BC分别与⊙O相切于点E，F

∴∠BEO=∠BFO=90°

∴∠BOE=∠BOF---------------2分

同理：∠COG=∠COF

∵∠OBC+∠OCB=90°--------------3分

∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°---------------4分

∴三点共线

证法二：连接OE，OG---------------1分

∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G

∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°

∴在四边形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°---------------2分

同理：∠GCF+∠GOF=180°

∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°

又∵AB∥CD

∴∠EBF+∠GCF=180°---------------3分

∴∠EOF+∠GOF=180°

即：三点共线---------------4分

（3）（第3小问共4分，若有其他方法，请酌情给分）

等式成立．理由如下：---------------1分

证法一：∵，  ，∠A为公共角

∴△ACD∽△ABC

 

      ∴     ---------------2分

∴     

∴                                 

同理，

   ---------------3分

∴

∴          ---------------4分

证法二：tan∠CAB=---------------2分

∴---------------3分

∴    ∴

∴     ---------------4分                                            

证法三∵

    ∴    ---------------2分

         ∴，    ∴

     ∴---------------3分

         ∴

∴

∴

∴