Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0）．点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若线段PQ的长度为d．
①求d与m之间的函数关系式；
②当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．
（3）以OB为边作等腰直角△OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．

Answer 1

分析 （1）将点B（3，0）代入抛物线y=a（x-1）²+4即可．
（2）①分两种情形当-1≤m＜0时，如图1，当0＜m≤3时，如图2，分别计算即可．
②根据P、Q两点关于y轴对称，列出方程m+m²-2m=0即可．
（3）分四种情形见图4、图5、图6、图7分别计算即可．

解答 解：（1）将点B（3，0）代入抛物线
y=a（x-1）²+4．
得4a+4=0．
解得a=-1．
∴这条抛物线所对应的函数表达式为：y=-（x-1）²+4．
即：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）得对称轴为直线x=1．
∵B（3，0）．
∴A（-1，0）．
当x=0时，y=-1+4=3．
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式是：y=kx+b．
将B、C代入，得：$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$．
∴直线BC的函数解析式是：
y=-x+3．
①由题意知P（m，-m²+2m+3）．
∵PQ⊥y轴．
∴Q（m²-2m，-m²+2m+3）．
根据题意知：-1≤m＜0或0＜m≤3．
当-1≤m＜0时，如图1，

d=m²-2m-m
=m²-3m．
当0＜m≤3时，如图2，

d=m-（m²-2m）
=-m²+3m．
②如图3中，

当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，设PF与y轴交于点M，可得N为线段PQ中点．
∴P、Q两点关于y轴对称，
∴m+m²-2m=0，
解得m₁=0，m₂=1，
∵点P不与点C重合，
∴m=1，
当m=1时，d=-1²+3×1=2；
（3）①如图4中，

点F在OC边上，点P的纵坐标为3，
当y=3时，3=-x²+2x+3，解得x=0（舍弃），或2，
∴此时点P横坐标为2．
②如图5中，

∵直线BC解析式为y=-x+3，直线OD解析式为y=x，
∵QF=1，
∴-x+3-x=1，
∴x=1，
∴点Q坐标（1，2），
y=2时，2=-x²+2x+3．解得x=1+$\sqrt{2}$ 或1-$\sqrt{2}$（舍弃），
∴此时点P横坐标1+$\sqrt{2}$．

③如图6中，

此时的Q坐标（2，1），
当y=1时，1=-x²+2x+3，解得x=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$（舍弃）．
∴此时点P横坐标为1+$\sqrt{3}$．

④如图7中，

∵直线BC解析式为y=-x+3，直线BD解析式为y=x-3，
∵QF=1，
∴-x+3-（x-3）=1，
∴x=2.5，
∴点Q坐标（2.5，0.5），
当y=0.5时，0.5=-x²+2x+3，解得x=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$（舍弃）
∴此时点P横坐标为$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．
综上所述m的值分别为：2，$1+\sqrt{2}$，$1+\sqrt{3}$，$\frac{{2+\sqrt{14}}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、两点之间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会正确画好图象，利用图象解决问题，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．