Question

已知正方形ABCD的边长为2，点E、F均在直线BD上，且∠EAF=135°，EB：DF=1：2．
（1）求CF；
（2）在直线BD上是否存在点P，使A、E、P三点围成的三角形是直角三角形？若存在求出EP的长，不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，得到对应边相等且对角线平分正方形的内角，进而由“SAS”得到△ADF≌△CDF，得到AF=CF，然后根据等量代换得到∠DAF=∠AEB，由等角的补角相等得到∠ABE=∠ADF=135°，进而得到△AEB∽△FAD，得到一个比例式，设EB=x，则DF=2x，且正方形边长为2，代入比例式中求出x的值，确定出DF的长，连接AC，由正方形的性质可知AC⊥BD，O为BD中点，求出OA以及OF的长，利用勾股定理即可求出AF的长，即CF的长；
（2）存在．有两解：第一，当P与O重合时，EO即为EP的长，根据（1）求出的EB和OB的长求出EP即可；第二，当AP⊥AE，与BD交于点P，此时△AEP为直角三角形，根据题意画出图形，由两对角相等的两三角形相似得到△AEO∽△PEA，由相似三角形对应边成比例列出比例式，由AE和EO的长即可求出PE．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，即∠ADF=∠CDF=135°，
在△ADF和△CDF中，

AD=CD ∠ADF=∠CDF DF=DF

∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°，且∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠DAF=45°，而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°，
∴∠DAF=∠AEB，∠ABE=∠ADF=135°，
∴△AEB∽△FAD，
设EB=x，则DF=2x，AB=AD=2，
∴

x

2

=

2

2x

，解得x=

2

，则DF=2

2

，
连接AC交BD与O，由正方形ABCD，得到AC⊥BD，O为BD中点，
∴OD=OA=

2

，则OF=OD+DF=3

2

，
在直角三角形OAF中，根据勾股定理得：
AF²=AO²+OF²=2+18=20，解得AF=2

5

，则CF=2

5

；

（2）存在．
当P与（1）中的正方形中心O重合时，△AEP为直角三角形，
由（1）得到OB=BE=

2

，∴EP=2

2

；
过A作AP⊥AE，与BD交于点P，此时△AEP为直角三角形，
根据题意画出图形，如图所示：

由题意可知：∠PAE=∠AOE=90°，∠AOE=∠PEA，
∴△AEO∽△PEA，∴AE²=EO•EP，
AE=

EO2+AO2

=

10

，EO=2

2

，
则EP=

10

2 2

=

5 2

2

．
EP的长为2

2

或

5 2

2

．

点评：此题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．学生在作第二问时注意结合图形，由相似得比例，进而找出已知与未知的关系，锻炼了学生分析问题，解决问题的能力．