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    已知如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=
    		3
    3
    x+
    		3
    对称．
    （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
    （2）求二次函数解析式；
    （3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
    （4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
    分析：（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
    （2）根据点H、B关于过A点的直线l：y=
    		3
    3
    x+
    		3
    对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
    （3）首先判定△ABH是等边三角形，进而构造直角三角形得出t的值即可；
    （4）得出直线AH，BK的解析式，得到方程组
    y=
    		3
    3
    x+
    		3
    y=
    		3
    x-
    		3
    ，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
    解答：解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），
    即x2+2x-3=0，
    解得x1=-3，x2=1，
    ∵B点在A点右侧，
    ∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
    答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．

    ∵直线l：y=
    		3
    3
    x+
    		3
    ，
    当x=-3时，y=
    		3
    3
    ×（-3）+
    		3
    =0，
    ∴点A在直线l上．

    （2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=
    		3
    3
    x+
    		3
    对称，
    ∴AH=AB=4，
    如图1，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
    则AC=
    1
    2
    AB=2，HC=2
    		3
    ，
    ∴顶点H（-1，2
    		3
    ），
    代入二次函数解析式，解得a=-
    		3
    2
    ，
    ∴二次函数解析式为y=-
    		3
    2
    x2-
    		3
    x+
    3
    		3
    2
    ，
    答：二次函数解析式为y=-
    		3
    2
    x2-
    		3
    x+
    3
    		3
    2
    ，

    （3）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2
    		3
    ），
    ∴AH=
    		22+(2
    		3
    )2
    =4，
    ∵B点坐标为（1，0），点H（-1，2
    		3
    ），
    ∴BH=
    		22+(2
    		3
    )2
    =4，
    ∵A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
    ∴AB=4，即AB=AH=BH=4，
    ∴△ABH是等边三角形，
    如图2，过点S作SC⊥AB于点C，过点S1作S1E⊥AB于点E，
    设当t秒时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
    则AS=t，AC=
    1
    2
    t，SC=
    		3
    2
    t，
    此时SC=CO，
    即
    		3
    2
    t=3-
    1
    2
    t，
    解得：t=3（
    		3
    -1），
    同理可得：S1B=AH+HB-t=8-t，BE=
    8-t
    2
    ，S1E=
    		3
    (8-t)
    2
    ，
    当EO=S1E，
    即1-
    8-t
    2
    =
    		3
    (8-t)
    2
    ，
    解得：t=9-
    		3
    ，
    故当t=3（
    		3
    -1）或t=9-
    		3
    时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．

    （4）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2
    		3
    ），
    ∴将两点代入解析式y=kx+b，
    得出
    -3k+b=0
    -k+b=2
    		3
    ，
    解得：
    k=
    		3
    b=3
    		3
    ，
    故直线AH的解析式为y=
    		3
    x+3
    		3
    ，
    ∵直线BK∥AH交直线l于K点，
    ∴直线BK的解析式为：y=
    		3
    x+b，
    将B点坐标代入求出，
    直线BK的解析式为：y=
    		3
    x-
    		3
    ，
    由
    y=
    		3
    3
    x+
    		3
    y=
    		3
    x-
    		3
    ，
    解得
    x=3
    y=2
    		3
    ，
    即K（3，2
    		3
    ），
    则BK=4，
    ∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2
    		3
    ），
    ∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2
    		3
    ，
    如图3，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2
    		3
    ，
    则QM=MK，QE=EK=2
    		3
    ，AE⊥QK，
    ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
    ∵BK∥AH，
    ∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
    由勾股定理得QB=8，
    ∴HN+NM+MK的最小值为8，
    答：HN+NM+MK和的最小值是8．
    点评：本题主要考查了对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．
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