Question

已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．
（1）求证：EF=AF；
（2）求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接EA，且延长交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO=∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=45°=∠EAF，
∴EF=AF．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD=2，
即ED=BD=2，
设AF=EF=x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED²=EF²+FD²，
∴（2）²=x²+（2+x）²，
x₁=-1-（是负数，不符合题意舍去），x₂=-1+，
即AF=-1+．
分析：（1）求出EA是BD垂直平分线，求出∠DEB，求出∠EDA，求出∠EAF=∠FEA=45°，即可得出答案；
（2）由勾股定理求出BD=2，即ED=BD=2，设AF=EF=x，在Rt△EFD中，由勾股定理得出方程（2）²=x²+（2+x）²，求出即可．
点评：本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，正方形性质，勾股定理的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．