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    已知：如图，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．
    （1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
    （2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
    （3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
    （2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出
    AM
    DQ
    =
    AP
    PD
    ，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
    （3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=
    		2
    2
    （1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=
    1
    2
    ×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出
    3
    		2
    4
    t2+
    3
    		2
    4
    t=
    1
    2
    ×3×
    		2
    2
    ，最后进行整理，即可求出t的值．
    解答：解：（1）连结AQ、MD，
    ∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
    ∴3t=3-3t，
    解得：t=
    1
    2
    ，
    ∴t=
    1
    2
    s时，四边形AQDM是平行四边形．

    （2）∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥CD，
    ∴△AMP∽△DQP，
    ∴
    AM
    DQ
    =
    AP
    PD
    ，
    ∴
    AM
    1-t
    =
    3t
    3-3t
    ，
    ∴AM=t，
    即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；

    （3）∵MN⊥BC，
    ∴∠MNB=90°，
    ∵∠B=45°，
    ∴∠BMN=45°=∠B，
    ∴BN=MN，
    ∵BM=AB+AM=1+t，
    在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=
    		2
    2
    （1+t），
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AD∥BC，
    ∵MN⊥BC，
    ∴MN⊥AD，
    设四边形ANPM的面积为y，
    ∴y=
    1
    2
    ×AP×MN=
    1
    2
    ×3t×
    		2
    2
    （1+t）=
    3
    		2
    4
    t2+
    3
    		2
    4
    t（0＜t＜1）．
    假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，
    ∴
    3
    		2
    4
    t2+
    3
    		2
    4
    t=
    1
    2
    ×3×
    		2
    2
    ，
    整理得：t2+t-1=0，
    解得：t1=
    -1+
    		5
    2
    ，t2=
    -1-
    		5
    2
    （舍去），
    ∴当t=
    -1+
    		5
    2
    s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
    点评：本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．
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    1
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    =
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    1
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    		3
    ．

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    2
    x-1
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