Question

请把下列每对数在数轴上所对应的两点的距离写在横线上：
（1）①3与2

1

；  3与-2

5

；
③-4与-4

1

2

1

2

；  ④-3

1

2

与2

1

2

6

；
你能发现求出距离与这两个数的差有什么关系吗？如果有一对数为a，b，则a，b两数所对应的两
点之间的距离可表示为

a-b

．
（2）如图所示，点A、B所代表的数分别为1，-2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点（并表上相应的字母）
（3）由以上探索解答下列问题：
①当|x+1|+|x-2|=7时，x=

4或-4

； 
②|x-3|+|x-4|+|x-5|的和的最小值=

2

③求|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用数轴分别得出，进而得出a，b两数所对应的两点之间的距离；
（2）根据点A、B所代表的数分别为1，-2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点，结合数轴得出即可；
（3）①利用x的取值范围分析得出即可；
②利用x=4时，求出原式的最值即可；
③可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|表示：点x到数轴上的21个点（1、2、3、…、21）的距离之和，由于原式的绝对值共有21项，最中间的那一项是|x-11|，所以只需取x=11，它们的和就可以获得最小值．

解答：解：（1）①1；②5；③

1

2

；④6；
a，b两数所对应的两点之间的距离可表示为a-b；

（2）C、D是与A、B两点的距离之和为5的点
；

（3）①当x≥-1时，|x+1|+|x-2|=7为x+1+x-2=7，解得：x=4，
当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=7为-x-1-x+2=7，解得：x=-3，
故答案为：4或-3；
②当|x-3|+|x-4|+|x-5|的和最小，则x=4，
∴原式=1+0+1=2；
故答案为：2；
③当x=11时，|x-1|+|x-2|+|x-3|…|x-21|=10+9+8+7+…+9+10=10×11=110．

点评：此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=11时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-21|能够取到最小值是解题关键．