Question

如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M．

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

如图，∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝BC， 　　∴∠1＝∠2．∵AD＝NE，∠3＝∠4， 　　∴△ADM≌△ENM，∴MD＝MN．又∵AD＝DC，∴DC＝NE． 　　又∵正方形CGEF，∴FC＝FE，∠FCE＝∠FEN＝45°， 　　∴∠FCD＝∠FEN＝45°， 　　∴△FDC≌△FNE，∴FD＝FN，∠5＝∠6， 　　∴∠DFN＝∠CFE＝90°，∴MD＝MF，MD⊥MF． 　　选取条件②： 　　证明：如图，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF， 　　∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE， 　　∴∠1＝∠2．又∵MA＝ME，∠3＝∠4， 　　∴△AMD≌△EMN，∴MD＝MN，AD＝EN． 　　∵AD＝DC，∴DC＝NE． 　　又∵FC＝FE，∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD． 　　选取条件③： 　　证明：如图，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF． 　　∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥HE，∴∠1＝∠2． 　　又∵MA＝ME，∠3＝∠4，∴△AMD≌△EMN，∴AD＝EN，MD＝MN．∵CF＝2AD，EF＝2EN， 　　∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD．

提示：

(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；(2)在你经历(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． 　　注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分． 　　①DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE； 　　②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图)，其他条件不变； 　　③在②的条件下且CF＝2AD． 　　拓展：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图)，其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明． 　　关系是：MD＝MF，MD⊥MF． 　　证法：如图，延长DM交CE于N，连结FD、FN． 　　∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2． 　　又∵AM＝EM，∠3＝∠4，∴△ADM≌△ENM， 　　∴AD＝EN．MD＝MN． 　　∵AD＝DC，∴DC＝NE．又∵正方形CGEF， 　　∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°． 　　又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∴∠DCF＝∠NEF＝45°，∴△FDC≌△FNE， 　　∴FD＝FN，∠5＝∠6．∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°． 　　又∵DM＝MN，∴MD＝MF，DM⊥MF． 　　选取条件①：