Question

14．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5$\sqrt{2}$；
（2）①根据角平分线的性质得到∠CAD=30°，求得∠COD=60°，得到△COD是等边三角形，求得∠OCD=60°，得到∠FCD=30°，于是得到结论；②连接OB，根据圆周角定理得到∠BOD=60°，推出OC∥BD，得到S_阴影=S_扇形，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=8，
∵AD平分∠CAB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD²+BD²=BC²，
∴易求BD=CD=5 $\sqrt{2}$；
（2）①证明：∵∠BAC=60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=30°，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∵∠CDF=∠CAB=60°，
∴∠FCD=30°，
∴∠OCF=∠OCD+∠DCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
②连接OB，
∵∠BAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠ODB=∠COD=60°，
∴OC∥BD，
∴S_阴影=S_扇形，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=5，
∴S_阴影=S_扇形=$\frac{60•π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{6}$π．

点评 本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．